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6基于分形理論的變壓器磁滯回環(huán)擬合新方法鄭濃劉萬順劉建飛李貴存21.華北電力大學(xué)方研究所，北京185；2.北京和利時公司，北京0，96壓器鐵磁材料的動態(tài)磁化規(guī)律，是提高變壓器暫態(tài)仿真準(zhǔn)確性的關(guān)鍵。作者首次運(yùn)用分形理論中的基本觀點(diǎn)，證明了鐵磁材料的磁滯回環(huán)族是種分形形，從本質(zhì)上揭了鐵磁材料動態(tài)磁化過程中所遵循的規(guī)律，從機(jī)理上探討了變壓器主次磁滯回環(huán)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用分形學(xué)中迭代函數(shù)系統(tǒng)的基本理論，對鐵磁材料的次磁滯回環(huán)擬合提出了種變壓縮因子方法，通過對主磁滯回環(huán)進(jìn)行線性迭代壓縮計算來生成次磁滯回環(huán)。仿真結(jié)果驗證了這種方法的正確性。

　　1引言超壓遠(yuǎn)距離輸電對大型變壓器保護(hù)的可基金項目國家自然科學(xué)基金資助項目5，277012.

　　靠性快速性提出了更高的要求。如何正確鑒別勵磁涌流和內(nèi)部故障電流仍然是變壓器差動保護(hù)應(yīng)首要解決好的問。變壓器勵磁涌流精確仿真的關(guān)鍵在于如何處理變，鞔嘔，體，那慨線性特性，變壓器鐵磁材料多值的磁化模型般可由個主磁滯回環(huán)和大量的包含在其內(nèi)部的次磁滯回環(huán)組成。變壓器空載合閘時，受合閘初相角鐵磁材料原始剩磁的大小和方向等諸多條件的影響，不定運(yùn)行在主磁滯回環(huán)上，要想確切地知道鐵磁材料回環(huán)來推測次磁滯回環(huán)的數(shù)據(jù)，正確地揭變壓器鐵磁村料主次磁滯之間的關(guān)系，則是變卡器暫態(tài)仿真的關(guān)鍵。

　　通過仔細(xì)分析和研宄由實驗所得鐵磁材料的典型磁滯回環(huán)，筆者發(fā)現(xiàn)主磁滯回環(huán)和內(nèi)部各次磁滯回環(huán)之間具有某種分形的特征，首次運(yùn)用分形即。論的基木觀點(diǎn)，證明了鐵磁村料的磁滯環(huán)族足，種分形閣形，從本質(zhì)上揭小鐵磁材料動態(tài)磁化過程中所遵循的規(guī)律在次磁滯環(huán)的擬合提出了種變壓縮因子方法，通過對主磁滯回環(huán)進(jìn)行迭代壓縮計算來生成次磁滯回環(huán)，并用仿真結(jié)果驗證了這種方法的正確性。

　　2分形理論基礎(chǔ)分形理論，7是非線性科學(xué)中新興的個重要分支，它是由研宄不規(guī)則不確定的形狀而產(chǎn)生的。分形是自然界中的種普遍現(xiàn)象。分形理論認(rèn)為分形內(nèi)部住何個相對獨(dú)立影。它揭了整體和部分之間的內(nèi)在聯(lián)系，說明了部分與整體之間的信息的同構(gòu)。

　　分形至今仍沒有個完全令人滿意的定義，但通常把具有下面典型性質(zhì)的集稱為分形1具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即它包含有任意小比例的細(xì)節(jié)2介是如此的不規(guī)則，以罕它的部和整體都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；3廠通常幾有某種相似的形式，能是近似的或是統(tǒng)計的；4般來說，的分維以某種方式定義大于它的拓?fù)渚S；5在大多數(shù)令人感興趣的情形下，以非常簡單的方法定義，可能由迭代產(chǎn)生。

　　拓?fù)渚S數(shù)的定義2為所有離，集合的拓?fù)渚S，7都是若集合中的每點(diǎn)的任意小鄰域的邊界都具柯?lián)渚S7.=，17為整數(shù)，3么這個集合的拓?fù)渚S是。例如點(diǎn)是，維的，線是1維的，面是2維的，而立方體是3維的。

　　拓?fù)渚S數(shù)不能對像分康拓，沉集科契，吐曲線謝爾賓斯基8那，出墊等所謂的不規(guī)則集提供很好的刻畫，只有引入分?jǐn)?shù)維這種新尺度才可以實現(xiàn)。分?jǐn)?shù)維的計算有多種，常阽的1似維數(shù)豪斷道夫，酵，出維數(shù)盒出，維數(shù)等。相似維數(shù)僅對嚴(yán)格自相似集才有意義，所謂嚴(yán)格自相似集是指該集合中任局部的形狀與整體是相似的，即只要將每個局部放人定形，我們所研究的對象是擬自相似集。擬相似集不是嚴(yán)格的自相似集，它具有擬自相似性，即該集的任意小的部分可以放大，然后平滑地變形使之較人的部分相似。豪斯道夫，遺維數(shù)是數(shù)學(xué)即。論1的種重要維數(shù)，它具育對任何集都有意義的優(yōu)點(diǎn)，但由于在很多情形下很難對其進(jìn)行估計和計算，所以限制了它的應(yīng)用。盒辦，維數(shù)是目前應(yīng)用最廣泛的維數(shù)之，下面給出其定義。

　　價是可以覆蓋廠的邊長為的維立方體記作8 1立方體的最少個數(shù)，則，的盒維，8定義為當(dāng)極限存在時分形集般由無限多個點(diǎn)組成，它們的分布，是如此復(fù)雜，以至不可能通過直接給定每個點(diǎn)的位置來描述它。閃此，想通過各部分之的相互系來定義它例如康拓集，可以看成是由與它自身相似的兩部分組成的，從而入了迭代函數(shù)系空間心上的個映射，如果存在個正的常數(shù)使，0，尤義則稱，為上的壓縮映射，稱為壓縮因子。

　　迭代函數(shù)系統(tǒng)的定義2完備的度量空間以及個壓縮映射，其報縮因子分別為，02，6，起成個迭代函數(shù)系統(tǒng)，簡稱圯8，記作！義1.叱，6，稱為正8的壓縮因子。

　　3分形理論在變壓器磁滯回環(huán)擬合中的應(yīng)用鐵磁村料的磁滯回環(huán)可分為小磁滯叫環(huán)和次磁滯環(huán)，鐵磁材料磁化過積中所處磁滯環(huán)的形狀大小和位置不僅影響本時間段內(nèi)磁化電流波形，而且還決定后續(xù)時間的磁化軌跡，因此，暫態(tài)磁化過程是具有歷史記憶性的。變壓器空載合閘時，磁化軌跡不定在主磁滯回環(huán)上，大多數(shù)情況下運(yùn)行在次磁滯回環(huán)上，因此，對于磁化過程中次磁滯回環(huán)的锫確描述是暫態(tài)磁化建投的關(guān)鍵所對廠不同的鐵磁材料，人們作大景實驗，得出了動態(tài)磁化過程的1嗚統(tǒng)計規(guī)，并發(fā)現(xiàn)次磁滯回環(huán)與主磁滯回環(huán)的形狀具有某種自相似性。對于同種鐵磁村料，可以判定如果小磁滯回環(huán)+是矩形，那么次磁滯回環(huán)必定不是矩形軌跡，而圮與主磁滯回環(huán)屬于同類別的軌跡1線。由此判斷由眾多的磁滯回環(huán)所組成的幾何形有可能是種分形形。下面利用分形的定義以及盒維數(shù)的基本概念，1正明由主磁滯回環(huán)以及眾多的次磁滯環(huán)所組成的磁滯回環(huán)族確實是種分形形，從中可以明顯地看出，主磁滯回環(huán)和各次磁滯回環(huán)具某種相似性，各次磁滯環(huán)整個磁滯環(huán)族具存某種相似性，它們幾有分形的自相似特征，按照拓?fù)渚S數(shù)的定義，并山實驗所得的鐵磁材料磁滯回環(huán)可知，磁滯回環(huán)的拓?fù)渚S數(shù)是維數(shù)學(xué)描述的復(fù)雜性，要想精確地計算出磁滯回環(huán)的盒維數(shù)，尚有很大的難度?？梢越柚谟嬎憧破趸?，也曲線長度的思想，對磁滯回環(huán)的盒維數(shù)給出定量的估計。設(shè)鐵磁材料的磁滯回環(huán)族構(gòu)成集廠由于廠可由無限細(xì)分的磁滯回環(huán)構(gòu)成，當(dāng)用維尺度來度量的長度，其結(jié)果是，另方面，磁滯回環(huán)在平面內(nèi)不占有面積，當(dāng)用維尺度來度量廠的面積，其結(jié)果是，可常規(guī)的維和維尺度付于磁滯，環(huán)族的大小都沒有給出有效的描述，由此可定試的估汁磁滯環(huán)族的維數(shù)是個介于12之間的數(shù)，即分?jǐn)?shù)維。由于磁滯回環(huán)族集的分?jǐn)?shù)維以某種方式定義的分維概念火于它的拓?fù)渚S，而1具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，廠的整體與局部幾有某種自相似性，均滿足分形的定義，所以，可以把鐵磁村料的磁滯，環(huán)族，作為種分形形。應(yīng)用分形學(xué)迭代函數(shù)系統(tǒng)的基本理論，可將主磁滯回環(huán)作為原始輸入，按照定的原則確定出壓縮映射因子，通過對主磁滯回環(huán)進(jìn)行迭代壓縮來生成次磁滯回環(huán)族。關(guān)于次磁滯回環(huán)的擬合，國內(nèi)外己作了不少的探索。文獻(xiàn)3采用壓縮算法由主磁滯纟環(huán)按定的比例壓縮生成次磁滯回環(huán)，該方法較好地反映了主茲滯，環(huán)與次茲滯，環(huán)之間的某種自相似性，但由于該方法總是以磁化曲線的正負(fù)向飽和點(diǎn)作為壓縮卞成的次磁滯回環(huán)的趨向點(diǎn)，所以不能較4實地反映局部磁滯叫環(huán)的實際形狀文獻(xiàn)⑷采用當(dāng)前拐點(diǎn)！

　　口0甘的思想來擬合次磁滯回環(huán)的軌跡，較真實地反映局部磁滯回環(huán)的走向，但由于文獻(xiàn)4是在假定主磁滯回環(huán)與次磁滯回環(huán)之間的位移是線性變化的前提由主磁滯回環(huán)生成相應(yīng)的次磁滯，環(huán)，所以也不能較好地反映出局部磁滯回環(huán)的實際形狀文結(jié)合文獻(xiàn)和文獻(xiàn)⑷中所提出的次磁滯回環(huán)擬合的原則和方法，在融合它們各自的優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了種新的擬合方法，即變壓縮因子法，并利用變壓器鐵磁材料的仿真結(jié)果驗證了這種方法的正確性。

　　次磁滯回環(huán)的擬合過程2.首先對由實驗所得數(shù)據(jù)應(yīng)用人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練得到鐵磁元件的主磁滯回環(huán)包括各點(diǎn)的坐標(biāo)以及相應(yīng)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，磁滯環(huán)石側(cè)描述的圮鐵磁村料磁化過程中的增磁過程，主磁滯回環(huán)左側(cè)側(cè)描述的足鐵磁材料磁化過程中的減磁過程，2中用1主磁滯回環(huán)1標(biāo)2分，相應(yīng)的1降，上升分支，尤磁飽和后的漸近線方程下標(biāo)2分別相應(yīng)的負(fù)向飽和，正向飽和后的漸近線，可為般的形式迎過選，正向或負(fù)向飽和的最末梢兩點(diǎn)，山直線的兩點(diǎn)式方程即可確定參數(shù)，以下降分支為例，設(shè)2點(diǎn)是由上升轉(zhuǎn)為下降的拐點(diǎn)，5點(diǎn)是由下降轉(zhuǎn)為上升的拐點(diǎn)，則下降的次磁滯回坐標(biāo)所決定的壓縮因子因此，付十次磁滯回線內(nèi)任意。點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可很容易地求得同樣，對于次磁滯回線的上升分支可列寫方程坐標(biāo)所決定的壓縮因子對于次磁滯回線內(nèi)任總點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可求得為了能更真實地反映次磁滯回環(huán)的形狀，本文在文獻(xiàn)4的基礎(chǔ)上提出了種新的方法。仍以2為例加以說明，設(shè)5點(diǎn)是迭代計算出的新拐點(diǎn)，2點(diǎn)是前個拐點(diǎn)，在仿真程序的編制中注意存貯前個拐點(diǎn)的坐標(biāo)信息。為使從新拐點(diǎn)5點(diǎn)開始的次磁滯回線軌跡能穿過前個拐點(diǎn)2點(diǎn)，應(yīng)利用已存貯的前個拐點(diǎn)2點(diǎn)確定下降分支的壓縮因子尤，即K，Vdot2dot由新拐點(diǎn)5點(diǎn)所確定的尤，如式5所不。般來講，式5和式7會存在定的差異，在仿真程序的編制中，壓縮因子反按照線性變化的原則從新拐點(diǎn)5點(diǎn)過渡到前個拐點(diǎn)2點(diǎn)，這樣采用變壓縮因子的方法就確保了從新拐點(diǎn)開始的次磁滯回線軌跡能穿過前個拐點(diǎn)。由于采用線性變化的壓縮因子進(jìn)行迭代計算，從而使得主磁滯回環(huán)與次磁滯回環(huán)之間的位移變化是種非線性的關(guān)系，它較文獻(xiàn)4更合理地反映次磁滯回環(huán)的形狀。對應(yīng)于下降分支的變壓縮因子的確定方法與上述方法類似，不再贅述。

　　4仿真結(jié)果為了驗證上述思想的正確性，本文用清華大學(xué)動模實驗室單相變壓器17.5的實驗數(shù)據(jù)來加以驗證，以變壓器的接線為例，參照文獻(xiàn)5中的接線參數(shù)=5，合閘初相角為1=3.7勒，采用經(jīng)典的階龍格庫塔6，3法進(jìn)行迭代計算，3為采用變壓縮因子法生成的次磁滯回環(huán)的意以5相為例，4為采用變壓縮因子法所得勵磁涌流的仿真波形，與文獻(xiàn)5中的實驗波形吻合，從而驗證了該方法的正確性。

　　5結(jié)論通過仔細(xì)分析和研宄同鐵磁材料的主磁滯回環(huán)和內(nèi)部各次磁滯回環(huán)的形狀及位置關(guān)系，本文發(fā)現(xiàn)它們之間具有某種分形的特征，并首次運(yùn)用分形理論中的基本觀點(diǎn)，證明了鐵磁材料的磁滯回環(huán)族是種分形形，從本質(zhì)上揭了鐵磁材料動態(tài)磁化過程中所遵循的規(guī)律。應(yīng)用分形學(xué)中迭代函數(shù)系統(tǒng)的基本理論，在對次磁滯回環(huán)的擬合中提出了種變壓縮因子方法，通過對主磁滯回環(huán)進(jìn)行迭代壓縮計算來生成次磁滯回環(huán)，從而使得對鐵磁材料動態(tài)磁化過程的描述更為科學(xué)合理，提高了仿真的精度。仿真結(jié)果驗證了這種方法的正確性。